鏡頭執(zhí)行從物體到圖像平面的近似一對一映射。圖像平面上的這種映射保持在景深范圍內(nèi)（如果物體位于無限遠處，則稱為焦深）。當圖像之間的距離大于景深時，鏡頭就必須重新對焦。這種重新對焦機制會增加成像系統(tǒng)的成本、復雜性和重量。

在這里，我們展示了通過合理設計多級衍射透鏡（MDL），可以將焦深大幅提升4個數(shù)量級以上。具體來說，當λ=0.85μm的準直光照射時，MDL 產(chǎn)生的光束在5mm至1200mm的范圍內(nèi)保持聚焦。測得的聚焦光束半峰全寬(FWHM)從 6.6μm（距離 MDL  5mm）到 524μm（距離 MDL 1200mm）不等。由于側(cè)面被很好地抑制，而主面接近衍射極限，因此可以在整個焦距范圍內(nèi)以 40°x30° 的水平垂直視場進行成像。該演示為透鏡設計開辟了一個新方向，即通過將焦平面上的相位作為自由參數(shù)處理，可以實現(xiàn)超深焦距成像。

引言

透鏡是一種光學元件，可將入射準直光聚焦成焦點。在透鏡法線上測量到的光斑保持緊密聚焦的距離范圍通常稱為焦深（DOF）。焦深（DOF）與焦斑尺寸 W 之間存在直接關系，其公式為

其中，NA 是鏡頭的數(shù)值孔徑，λ是照明波長。用于成像時，等效范圍之外的物體圖像會變得模糊。顯然，有很多理由需要擴大這一范圍以增強 DOF 成像。這可以通過波前編碼、計算或兩者的結(jié)合。波前編碼和相關方法（如對數(shù)非球面）通常會在分辨率和 DOF 之間進行權(quán)衡，有時會犧牲圖像質(zhì)量，這主要是由于側(cè)面的增加。軸心可用于增強  DOF，但圖像分辨率和視場會受到嚴重影響。此外，還展示了具有多個離散焦點的鏡頭。瞳孔平面上的經(jīng)過優(yōu)化的調(diào)焦器以及二元相位優(yōu)化相位掩膜本身或與折射透鏡結(jié)合使用，都可用于增強 DOF。在這種情況下，DOF 的增強都相對較小，小于1個數(shù)量級。許多先前的例子都需要大量的后期處理；它們的視場（FOV）被嚴重縮減或需要多個元素，而且往往很厚。計算增強 DOF 也會受到噪聲放大和對采集信號信噪比的高度敏感性。表 S1總結(jié)了這一領域之前的相關工作。表 S1總結(jié)了這一領域之前的相關工作。超過衍射極限的最佳DOF增強值約為600，這是通過分形區(qū)板與衍射極限相結(jié)合實現(xiàn)的。在本文中，我們展示了通過適當設計平面多級衍射透鏡 (MDL) 的設計，可以將DOF增加到衍射受限情況的 104倍以上。MDL的設計目的是在衍射極限的在 Ζ= fmin 到Ζ= fmax 的整個范圍內(nèi)聚焦。距離fmin和fmax分別是最小和最大值。分別為最小如

其中，z ε ( fmin, fmax) 和R是MDL的半徑。換句話說，正如衍射極限所預期的那樣，NA隨z變化。我們的MDL在Ζ= fmin =5mm時的NA最大為0.18。fmin - fmax =1.2m~λ*106 的范圍是新的DOF，與衍射極限情況相比，該N的最大DOF增強為((106*λ)/(λ/NA2))>3*104 ，這比之前演示的都要大很多個數(shù)量級。有了如此大的 DOF，就有可能從相機中移除對焦機構(gòu)，從而降低成本、重量和相關復雜性。

圖 1. (a) 顯示超深焦距（ExDOF）成像的多級衍射透鏡（MDL）示意圖。(b) MDL 的幾何形狀，焦距范圍為5~1200mm，光圈為1.8mm。(c)焦距為5~1200mm的MDL 在 y-z 平面上的模擬強度分布和(d)測量強度分布。工作波長為850 nm。

圖 2. (a) 制造的MDL的光學顯微照片，插圖顯示透鏡中心的放大視圖。  (b) 實測、模擬、和衍射極限半峰全寬（FWHM）與z的函數(shù)關系。(c-i)模擬和(j-p)測量的點擴散函數(shù)（x軸和x軸的光強分布）。(x-y 平面上的光強分布）與z（距離 MDL）的函數(shù)關系。

設計

我們設計方法的靈感來自于我們最近對于強度成像的演示，焦平面上的相位可被視為自由參數(shù)。原則上，這將使理想透鏡問題的無解，可以根據(jù)其他要求，如消色差或增強DOF選擇所需的解決方案。通過只限制在較大焦距范圍內(nèi)聚焦強度，并允許焦距范圍內(nèi)的相位變化，我們可以通過以下方法解決非線性相反的問題。我們選擇省略對設計方法的深入討論，以使本文的信息足夠簡潔，從而突出這項工作的真正意義?？偟膩碚f我們通過選擇MDL各組成部分的高度分布，最大限度地提高MDL的聚焦效率?？傊瑢τ谖覀兊臉O限焦深（ExDOF）MDL，聚焦效率被定義為直徑為3*FWHM的光斑內(nèi)的功率與入射功率之比，計算結(jié)果為所需聚焦范圍內(nèi)每個焦平面的功率。焦距范圍是指從 MDL 測得的距離范圍[圖1(a) 中的 fmax-fmin]。環(huán)高的選擇基于梯度下降定向二元搜索技術。該優(yōu)化程序與傳統(tǒng)的菲涅爾-基爾霍夫衍射積分相結(jié)合，為光束傳播建模。在整個Z 范圍內(nèi)，利用基爾霍夫衍射積分來模擬從透鏡平面到觀測平面的光束傳播。假設有單位振幅的均勻光束照射到 MDL 上。MDL 對偏振不敏感，我們注意到這里的所有實驗都是用非偏振光進行的。我們設計、制造并鑒定了λ=0.85μm的 ExDOF MDL，其參數(shù)如下：fmin=5mm，fmax=1200mm，孔徑為1.8mm。限制設計為環(huán)寬3 米，最多100個數(shù)量級，最大高度為2.6μm。請注意，f#（NA）因焦距擴展在2.78 (0.18) 和 555.56 (0.0009)之間而變化。衍射極限在此特定設計中，由λ/max(NA)2得出的衍射極限D(zhuǎn)OF為 26μm。因此，與衍射極限相比，DOF的增強值為

即 3.8104。這種增強效果比之前展示的任何效果都要高出幾個數(shù)量級，而且無需對圖像進行后期處理。我們在此強調(diào)的是，我們確保單個平面 MDL 能夠跨越如此大的 NA 范圍，換句話說，這導致了成像中的 ExDOF，衍射極限決定了距離MDL較遠的焦斑會更大。

結(jié)果與討論

在 x-z 平面上的光強分布中的光強分布進行了模擬，并繪制了MDL的模擬圖見圖。從模擬結(jié)果中可以明顯看出，焦點的在整個主面所需的焦距范圍內(nèi)，焦點保持不變。觀察到MDL的FWHM在整個焦距范圍內(nèi)接近衍射極限。例如，在1200mm的距離上，F(xiàn)WHM為 524μm。相應的測量結(jié)果如圖所示。在這種情況下，側(cè)面在所需的焦距范圍內(nèi)也得到了相當好的抑制。例如貝塞爾光束，這對于成像極為重要。正色調(diào)光刻膠 S1813（微化學）的材料色散在設計和仿真中均被假定或模擬。然后使用灰度光刻技術制造出器件。請注意，由于我們的制造限制，我們的最大環(huán)高為2.6μm。圖 2(a)顯示了制作好的MDL 的光學顯微照片。

圖3。在不重新聚焦的情況下成像不同的物體距離。（a） 距離MDL不同距離u的物體的聚焦圖像在相同的圖像距離v處形成。（b）固定v和變化u的空軍分辨率圖的圖像。每行v的值是固定的，u的值記在每張圖像的括號中。（c） 對于從記錄圖像中提取的各種v值，放大率作為u的函數(shù)。在不重新聚焦的情況下以不同的圖像距離成像。

MDL 由超連續(xù)光源發(fā)出的準直光束照射。配有可調(diào)濾光片，可調(diào)波長為850 nm，帶寬為15nm。帶寬為15  nm。點光源直接記錄在單色CMOS圖像傳感器上。將圖像傳感器放置在云臺上，在距離MDL不同距離處捕捉 PSF。然后，將這些圖像連接起來，創(chuàng)建x-z切片，如圖 1(d)所示。根據(jù)這些分布，我們通過實驗 確認入射光始終聚焦在所需的焦距范圍內(nèi)，即5-1200mm。我們還注意到實驗結(jié)果與模擬結(jié)果一致。從模擬和從模擬和測量的PSF中提取。然后作為z的函數(shù)繪制在圖  2(b) 中。將衍射極限FWHM 也繪制出來作比較。我們注意到這三幅圖之間存在極好的一致性。我們總結(jié)了模擬的和測量的值的PSF，分別是z（MDL與圖像傳感器之間的距離）為25、50、200、500、750、1000 和 1200mm。記錄的其他一些z值的PSF也如圖 S1 所示。實驗和模擬結(jié)果盡管我們認為部分差異可歸因于預期的制造誤差。無論如何，MDL顯然能將入射光聚焦到其設計焦距的在其設計的焦距范圍內(nèi)，入射光接近衍射極限。我們還根據(jù)測得的PSF計算了聚焦效率和調(diào)制傳遞函數(shù)與z的函數(shù)關系，并在圖S2和圖S7中分別總結(jié)了這些數(shù)據(jù)。

圖4。（a）固定距離u處物體的聚焦圖像是在大范圍的圖像距離v處形成的。（b）固定u和變化v的空值分辨率圖的圖像。每行u的值是固定的，v的值記在每張圖像的括號中。（c） 對于從記錄的圖像中提取的各種u值，放大率作為v的函數(shù)。

對于固定焦距（f）的傳統(tǒng)鏡頭，物距（u）和像距（v）的關系式為物距（u）和像距（v）的關系式為 1/u+ /v=1/ f 。如果u或v中的任何一個發(fā)生變化，就必須調(diào)整另一個，以便獲取聚焦圖像。例如，如果物體靠近鏡頭則傳感器必須遠離鏡頭（增加 v）。由于ExDOF鏡頭的焦距不是一個固定值，因此我們可以對不同距離的物體成像 (改變u），而不一定要移動傳感器（固定  v）。在不同成像距離（改變 v）下對同一物體（固定 u）成像也是如此。為了說明這一概念，我們使用相同的CMOS圖像傳感器拍攝測試圖像。在每種情況下，都要調(diào)整曝光時間，以確保圖像不深。此外，我們還記錄了一個暗幀，并將其從圖像中減去。在所有實驗中  我們記錄了空值分辨率目標在兩種不同情況下的圖像。首先，我們保持MDL與圖像傳感器之間的距離 (v) 不變，并改變MDL與物體之間的距離 (u)，如圖 3(a) 所示。我們的想法是演示一種無需隨u變化而重新對焦的相機。記錄的MDL圖像如圖 3(b) 所示。每幅圖像的括號中均注明了u的值。我們注意到，MDL 能夠在u從50mm~1000mm的范圍內(nèi)形成聚焦圖像，而其聚焦效果沒有任何變化，即無需重新聚焦。根據(jù)記錄的圖像，我們可以計算出攝像機的放大倍率，并將其繪制成圖3(c)中MDL的u和v的函數(shù)圖。我們注意到，MDL可以在不改變圖像距離 (v)的情況下改變倍率。放大率是u的反函數(shù)，這也是基本的幾何光學原理所預期的。為了提高原始圖像的質(zhì)量，我們采用了標準的盲去卷積法（Blind deconvolution）來提高原始圖像的質(zhì)量。

圖5。對具有大景深的場景進行成像。距離在200mm~6米之間的物體是焦點。圖中注明了每個物體與MDL（u）的距離。類似場景的視頻記錄包括可視化1和可視化2。

在下一組實驗中，我們保持u不變，改變v，同時記錄圖像，如圖4(a)所示。這些實驗表明，即使圖像距離 v 變化很大，物體圖像仍能保持對焦。記錄的圖像匯總?cè)鐖D4（b）所示。我們注意到，MDL能夠在v值為5~170 mm之間形成聚焦圖像，而u值沒有任何變化。在圖 4（c）中，我們提取了相應的放大率，并繪制了放大率隨u變化的曲線圖，根據(jù)基本幾何光學原理，放大率是 v 的線性函數(shù)。為了進行比較，我們還在圖3和圖4中重復了相同的實驗。使用兩個不同的菲涅耳透鏡，焦距分別為100 mm和602.5 mm，直徑為1.8  mm（與MDL相同）。毫不奇怪，傳統(tǒng)的菲涅耳透鏡不能獲得像MDL這樣大的自由度。為了完整性，我們還將MDL的聚焦性能與相同直徑的孔徑的MDL聚焦性能進行了比較。不出所料，光圈沒有聚焦能力。最后，為了展示MDL的成像潛力，我們對包含從200到5943  mm的大自由度物體的場景進行了成像。傳統(tǒng)的鏡頭無法在如此大的自由度上保持所有物體的聚焦。然而，MDL能夠在所有物體都聚焦的情況下拍攝單個圖像。該該場景的圖像也是用傳統(tǒng)鏡頭拍攝的，強調(diào)其減少的DOF。

結(jié)論

DOF是透鏡的基本屬性。由于認識到透鏡主要用于強度成像，我們可以將像面（或焦面）上的相位視為自由參數(shù)。因此，我們可以生成一個僅有相位的瞳孔函數(shù)，當它印在光束上時，焦點可以在比傳統(tǒng)透鏡大幾個數(shù)量級的距離內(nèi)保持接近衍射極限。我們以一個瞳孔函數(shù)建模為多級衍射透鏡的例子，演示了從 5mm~1200mm的光束聚焦。此外，我們還對物體相距近 6m的場景進行了成像，所有這些物體都在聚焦范圍內(nèi)。通過遵循這一設計理念，我們相信可以實現(xiàn)大帶寬、大DOF等全新類型的平面光學器件。最后，我們還要強調(diào)的是，我們光學系統(tǒng)的參數(shù)并不滿足弗勞恩霍夫（遠場）近似值的要求，該近似要求 (D2/( fmax *λ)＜<1),  其中D表示MDL的孔徑。在我們的MDL中等于 3.17，因此我們的系統(tǒng)屬于菲涅爾衍射系統(tǒng)。

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